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2021全國卷數學高考考查特點 2—問題普遍性的研究

2021-08-23  博約書齋
——數學的真正劃分不是分成幾何和算術,而是普遍和特殊的(James Gregory)今年高考試題變化最大的特點之一,就是把很多以前具體例子的考查變成了一般性問題的研究,高考試題如何體現?這樣的價值何在?如何導向教學?我們該如何應對?

一、突出對問題普遍性的研究,注重通性通法

用符號表示的題目更多,易中難均有涉及,突出對問題普遍性的研究,注重通性通法。

【點評】通過考查對一般問題及方法,需要考生尋找對應研究問題的基本方法。

【點評】最后一個壓軸題給出了一個兩個基本初等函數構成的函數的零點問題,題目非常簡潔,但是是一個一般性問題的研究。

【解析】三條直線地位對等,都是拋物線上兩點連線的方程,結構上具有一致性。

【點評】A1 , A2 , A3 是 C 上的任意三個點,對運算求解能力提出了更高的要求。拋物線中弦所在直線方程應該是視為這個問題基本且核心的要素,故找到其一般的表達式是第一步,相切,就會得到等量關系,把切點視為未知數,則有方程,多個切點,就會想到同一個方程有多個根。

二、結論的一般性需要對問題進行定性分析,對研究的各方面進行整合

三、從特殊到一般,從一般看特殊

【點評】用函數觀點比較函數值大小,這是從一般看特殊。

【從數學史來看】摘自《古今數學思想》(微積分的創立):在速度—時間的圖形下的面積就是距離。因為距離的變化率必定是速度,所以如果把面積看做是求和,它的變化率必定是面積函數的導數。但是 Torricelli 沒有看到普遍的情況。費馬同樣也只在特殊的例子中指導了面積和導數間的關系,沒有體會到它的一般性或重要性……


實際上在牛頓和萊布尼茨作出他們的沖刺以前,微積分的大量知識已經積累起來了,甚至在 Barrow 的一本書里,就能看到求切線的方法,兩個函數的積和商的微分定理,x 的冪的微分,求曲線的長度,定積分中的變量代換,甚至還有隱函數的微分定理,雖然在 Barrow那兒,幾何的表達使得普遍思想難于辨識,但在 Wallis 的《無窮的算術》中,可與之相比較的結果,是用代數的形式表達的。
人們于是驚問,在主要的新結果方面,還有什么有待于發現呢?問題的回答是方法的較大的普遍性以及在特殊問題里建立起來的東西中認識其普遍性。這世紀的前三分之二的時間里,微積分的工作沉沒在細節里。另外,許多人在通過幾何來獲得嚴密性的的努力中,沒有去利用或者探索新的代數和坐標幾何中蘊含的東西,作用不大的細微末節的推理使他們精疲力竭了。最終能培育出必要洞察力和高度概括力的費馬,圣文森特的 Gregory 和 Wallis 的算術工作,而 Hobbes 批評他們用符號代替幾何,James Gregory 在《幾何的通用部分》的序言中說,數學的真正劃分不是幾何和算術,而是分成普遍的和特殊的。這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。

【哲學闡述】普遍性寓于特殊性之中,即任何事物既有個性,又有共性,既要考察它的一般性,又要考察其特殊性。比如要了解一個人,既要洞悉人性,又要洞悉人心,是人皆有人性,對人性指導我們對這個人哪些方面進行考量,但這不足以把這個人研究清楚,還要了解這個人的心,了解這個人的特殊背景和性格的形成等等,學習亦是如此。

【數學教學中的理解】數學的知識常常就是在一般化和特殊化中不斷地生成與發展,比如:

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